Determinare le soluzioni razionali dell'equazione X² + Y² + Z² = XYZ
Di queste, quante sono quelle intere?
Risolvendo rispetto ad una qualsiasi delle 3 variabili x, y, z si vede facilmente che il problema si riconduce all'individuazione di quaterne pitagoriche.
Tutte le soluzioni razionali possono essere trovate dalle seguenti relazioni e da loro permutazioni:
x=2k/u
y=2k/v
z=2k/(uv)*(k±w)
con u,v,w,k che compongono una quaterna pitagorica:
u,v,w,k: u²+v²+w²=k²
Prendendo arbitrariamente u e v entrambi pari si possono ricavare w e k:
u≡v≡0 (mod 2)
w=[(u/2)²+(v/2)²-p²]/p
k=[(u/2)²+(v/2)²+p²]/p
u,v,p: (u/2)²+(v/2)²≡ 0 (mod p) e p²<(u/2)²+(v/2)²
Per u=v=2 si trova ad esempio p=1, w=1 k=3 --> x=3 y=3 z=3 o z=6
Per u=2 v= 6 si trova ad esempio p=1, w=9, k=11 --> x=7 y=7/3 z=14/3 o z=35/3.
Le soluzioni intere sono tutte ricavabili dalla soluzione primitiva (x,y,z)=(3,3,3) osservando che se (x,y,z) è soluzione dell'equazione lo sono anche (x, y, xy-z), (x, xz - y, z), (yz-x, y, z) oltre a tutte le possibili permutazioni.
Si trovano quindi ad esempio le soluzioni (3, 3 ,3), (3, 3 ,6), (3, 6 ,15), (3, 15 ,39), (3, 39 ,102), (3, 102 ,267), (3, 267 ,699).
le soluzioni razionali
interseco la
x²+y²-3xy+1=0
con la generica retta per (1 1)
x-1=λ(y-1)
x=λy-λ+1
si ha
(λ²+3λ+1)y²+(1-λ)(2λ+3)y+λ²-2λ+2=0
Δ=λ²-22λ+1=r²≥0
r² quadrato perfetto
è una eq.ne diofantea iperbolica da risolvere
che ha
8 soluzioni con r ∈ ℕ∪{0}
a r
-20 29
-6 13
-2 7
0 1
22 1
24 7
28 13
42 29
In definitiva ho:
Anche lambda è un numero razionale.
imporre
λ=u/v
X²+Y²+Z²=XYZ
senza ripetere la tiritera
dico che ad esempio ponendo
r=X/Y s=Z/Y Y≠0
giungo alla
r/s+1/(rs)+s/r=Y
ovvero se impongo Y=3n
r²+rs+s²=3ns²
che equivale alla
(2r-3n)²-((3n)²-2²)s²=-4
che si sa risolvere sugli interi
a patto che siano verificate condizioni
su d=(3n)²-2²
le condizioni di risolubilità a mio avviso
comportano che n=1
sappiamo che dalla
x²-dy²=-1
quadrando posso scrivere
(x²+dy²)²-d(2xy)²=1
una pell positiva che è sempre
risolubile se d è ′′square free′′
ora una pell positiva puo porsi nella forma
x²-dy²=1
divido per y²≠0
giungendo a
(x/y)²-(1/y)²=d²
ovvero
(x/y+1/y)(x/y-1/y)=d
detto t ≠0 t ∈ ℚ\{0}
t²≠d
posso imporre
x/y+1/y=t
x/y-1/y=d/t
risolvendola in x y
x=(t²+d)/(t²-d)
y=2t/(t²-d)
nota una soluzione razionale se
ne trovano infinite e si possono trovare
anche quelle della pell negativa.
un'altra risposta, potrebbe:
Data la
X²+Y²+Z²=XYZ
Non ho dimestichezza con la dimostrazione che la superficie è razionale ma noto che ha soluzioni, ad es. (X, Y, Z)=
3, 3, 3
3, 3, 6
......
noto che X Y Z devono essere o tutti dispari o due dispari e uno pari
con due pari si giunge facilmente alla contraddizione
pari=dispari, assurdo
supponiamo X Y Z tutti dispari.
allora usando la congruenza mod 3
XYZ=3=0 mod 3
per la simmetria dell′eq.ne
X=3X′ Y=3Y′ Z=3Z′
(se fossero X Y dispari e Z pari vale lo stesso discorso, perchè la eq.ne possa essere possibile X Y Z devon essere multipli di 3, altrimenti avrei una congruenza mod 3 senza soluzioni)
si arriva alla
X′²+Y′²+Z′²=3X′Y′Z′
dividendo per Z′²≠0
x=X′/Z′ y=Y′/Z′
x²+y²-3xyZ′+1=0
posto Z′=k
essa può riscriversi
a meno di un fattore 1/4
(2x-3y)²-(9k²-4)y²=-4
ovvero con u=2x-3y
u²-((3k)²-4)y²=-2²
Lo sviluppo in frazione continua di D((3k)²-4)=(3k-2)(3k+2) ha periodo pari se k>1
per k=Z′=1
D=5
si risolve la
u²-5y²=-1
e si moltiplicano per 2 le soluzioni
sol fondamentale
(u₁, y₁)=(-2, 1)
con ricorrenza
uₙ₊₁=9uₙ+20yₙ
yₙ₊₁=4uₙ+9yₙ
passando a x y
2x-3y=u
x=(u+3y)/2
le sol intere della
x²+y²-3xy+1=0
con sol fondamentale
(x y)=(1 1)
sono della forma
xₙ₊₁=21xₙ-8yₙ
yₙ₊₁=8xₙ-3yₙ
posso riscrivere
e quindi
X=xZ
Y=yZ
Z=3 parametro
ovvero
X=3x
Y=3y
Z=3
le soluzioni intere sono infinite
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