Determinare le soluzioni reali del sistema di equazioni X + Y + Z = 3. X³ + Y³ + Z³ = 15, X^5 + Y^5 + Z^5 = 83
Utilizzamo le identità di Newton (le riporto in allegato) prima per la somma dei cubi
15 = 27 - 9(xy+xz+yz) +3xyz
Ponendo
xy+xz+yz = t
xyz = r
L'eq. si può riscrivere
r = 3t - 4
Ora utilizzandole per la somma delle quinte potenze, abbiamo
83 = 243 -135*t + 45*r^2 +15*t^2 -5*t*r
Scrivendo tutto in funzione di t
83 = 243 -135*t + 45*(3*t-4) +15*t^2 -5*t*(3*t-4)
Ovvero 20*t = 20 quindi t = 1 e r = -1
Ora, se pensiamo a {x, y, z} come le radici di un'eq. cubica nella variabile s, avremo
(s - x)(s - y)(s - z) = s^3 - (x+y+z)*s^2 + (xy+xz+yz)*s - xyz
E inserendo i valori di t e r trovati prima, avremo
s^3-3s^2+s+1=0
Ovvero (s - 1) (s^2 - 2s - 1) = 0
Che ha soluzioni {1, 1+Sqrt[2], 1-Sqrt[2]}, cioè i rispettivi valori di x, y, z
C'è un modo pragmatico di risolvere, osservando che x,y,z non possono essere interi. Quindi c'è di mezzo qualche radicale, ragion per cui si può scrivere una soluzione del tipo (1+rad(a), 1-rad(a),1). A questa si giunge dalla prima espressione. Si svolgono i conti tenendo conto della seconda e viene fuori una equazione di primo grado in a che porge a=2. E permutazioni cicliche. Naturalmente c'è un modo più rigoroso e consiste nel considerare x,y,z come radici di una equazione di terzo grado, tramite le formule di Viete, ma non ho alcuna voglia di farlo. E questo è già troppo. Dunque la soluzione è: (x,y,z)=(1+rad(2), 1-rad(2),1), modulo permutazioni cicliche
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