Condizione *necessaria* affinché la serie converga è che la successione del termine generale sia infinitesima, ovvero che il limite di a_n per n->+inf sia 0.
Quindi, puoi calcolare questo limite nel caso del tuo esercizio. Se dividi numeratore e denominatore per n, il tuo termine generico a_n diventa: 1/(1+cos(n)/n). Cosa succede a questo termine per n che tende a +inf?
cos(n) è sempre compreso tra -1 e 1, quindi cos(n)/n tende a 0 per n che tende a infinito. Quindi, 1/(1+cos(n)/n) tende a 1, quindi un valore *diverso da 0*.
Pertanto, *non* è verificata la condizione necessaria per la convergenza della tua serie. Quindi la tua serie non converge.
Quando hai coseno,seno o roba simile(che comunque oscilla tra valori negativi e positivi) sommati non contano,sono solo fuorvianti perche limitati,sommati a un n per valori tanto grandi non contano.Sarebbe una serie a termini non di segno costante se fosse moltiplicato,in quel caso cambierebbe il segno ripetutamente e quindi il segno non sarebbe costante