Determinare tutte le funzioni f: ℝ → ℝ tali che, presi x e y ∈ ℝ arbitrari
si abbia:
f(x-y) = f(x) + f(y) - 2xy
f(0)=0
f(-x)=f(0-x)=f(x), f è pari
f(x+y)=f(x)+f(-y)-2x(-y)=f(x)+f(y)+2xy
f(x+dx)=f(x)+f(dx)+2xdx
f(x+dx)-f(x)=f(dx)-f(0)+2xdx (*)
f'(x)=f'(0)+2x
f(x)=c+xf'(0)+x²
Ma poiché f deve essere pari f'(0)=0
=> f(x)=x²+c, ma
f(x-y)=(x-y)^2+c
f(x)+f(y)-2xy=x^2+c+y^2+c-2xy => c=0
Naturalmente ho assunto f derivabile, è un'assunzione necessaria? Se è derivabile in 0 da questo dovrebbe discendere la derivabilità ovunque secondo la (*)
come mai f(0) = 0? perché:
perché f(0-0)=f(0)+f(0)-2*0*0
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