per la derivabilità

per la continuità

Mi permetto un commento. Se f è continua in 1 ed ∃ finito lim f’(x) per x → 1, allora necessariamente f’(1) = lim f’(x). Cioè, ci si può risparmiare di calcolare il limite del rapporto incrementale per x → 1.

Ma se il limite della derivata esiste, allora la derivata è continua. Può succedere che il limite della derivata non esista ma la funzione sia derivabile, nel qual caso la derivata non è continua.
Nel caso in esame, dato che il limite della derivata esiste finito, la derivata è necessariamente continua.