dimostrare che la funzione f(x)=x^5+x^3+1 interseca l'asse x in un solo punto (Teorema di Rolle)
Gli zeri della funzione devono necessariamente essere strettamente minori di zero.
Se ce ne fossero due, per il teorema di Rolle (la f è un polinomio quindi derivabile) esiste un x compreso fra essi (quindi anche lui strettamente negativo) tale che 0=f'(x)=5x⁴+3x² ma questo è impossibile.
E' una prima ipotesi
Potremmo dire: Utilizzando il teorema di Rolle si dimostra la monotonia. O forse non proprio
ato che non esiste un c in (0,a) con a positivo arbitrario tale che f'(c) = 0 (la derivata si annulla esclusivamente in zero), allora per Rolle possiamo concludere che f(b) è diverso da f(d) per ogni intervallo (b,d) contenente a. Dato che la funzione è continua, per l'arbitrarietà di a possiamo concludere che la funzione è monotona in (0,+oo). Stesso argomento per (-oo,0).
se scegli un intervallo generico (a,b) che quindi possa contenere lo zero?
Mettendomi fuori dallo zero ho dimostrato che la funzione è monotona per x > 0 e per x < 0. A questo punto ti basta calcolare f in x = 0, e dato che f(0) > 0 sei a cavallo: se la funzione è globalmente monotona hai una sola radice, se la funzione è monotona crescente per x < 0 e decrescente per x > 0 due, mentre se è decrescente e poi crescente non ha radici. Ti basta dimostrare che f(-a) < f(a) ed è fatta.
Se la funzione è monotona separatamente sui due intervalli non implica che sia globalmente monotona.
Poi qual è il teorema che ti dice che una funzione continua iniettiva è monotona?
Mi sembra plausibile ma non ovvio.
una ipotesi del teorema di rolle è che esista un intervallo [a,b] in cui la funzione assuma uguale valore agli estremi.
Ora, la derivata della funzione è sempre positiva e vale zero solo in corrispondenza di x=0, dove la funzione ha un flesso, nel punto F(0,1).
Pertanto è impossibile avere un simile intervallo per questa funzione; che comunque è strettamente crescente e pertanto intersecherà una sola volta l’asse x.
Il teorema di Rolle implica quello di Lagrange che a sua volta implica come corollario che dove f'>0 la funzione è strettamente crescente e siccome ciò è vero per ogni x f è biiettiva e segue la tesi
Spiegazione:
Il teorema di Rolle dice che, se una funzione f è derivabile su un intervallo (a,b), continua in a e b, e tale che f(a) = f(b), allora esiste un punto 𝜉 ∈ (a,b) tale che f'(𝜉) = 0.
Se quindi f(x) = x⁵ + x³ + 1 avesse due zeri (x₁ e x₂), si avrebbe f(x₁) = f(x₂) = 0, per cui si potrebbe applicare il teorema di Rolle sull'intervallo [x₁,x₂] (la funzione f è naturalmente derivabile dappertutto per cui le ipotesi del teorema sono rispettate). Esisterebbe dunque un punto 𝜉 ∈ (x₁,x₂) tale che f'(𝜉) = 0.
Ma f'(x) = 5x⁴ + 3x² = x²(5x²+3) = 0 se e solo se x = 0, da cui necessariamente 𝜉 = 0 (è l'unica possibilità). Siccome x₁ < 𝜉 < x₂, si avrebbe allora x₂ > 0. Questo però è assurdo, perché per ogni x > 0 si ha f(x) > 0 strettamente, e quindi non è possibile che f(x₂) = 0.
bisogna dimostrare che f(x) > 0 per x > 0. Però non sono sicuro di capire cosa vuol dire “senza fare calcoli”. Se la funzione fosse diversa sarebbe un esercizio differente. Anche la derivata sarebbe diversa e gli zeri della derivata sarebbero diversi e si potrebbero calcolare analiticamente o meno.
Se lo si potesse usare, come si applicherebbe qui il teorema di Lagrange?
PS: vedo che ho dimenticato di dimostrare che f possiede uno zero - questo fatto è conseguenza del teorema di Weierstrass per le funzioni continue.
una funzione è strettamente crescente se per ogni x1 e x2 del dominio, scelti in ordine, x1<x2, si ha che f(x1)<f(x2).
E si può verificare che sia così per questa funzione.
ma anche usando il teorema di Lagrange bisognerebbe comunque verificare che la derivata è positiva (che è a sua volta un calcolo, che può essere semplice o meno a secondo dell'espressione della funzione).
Resta la mia perplessità di fondo: il procedimento non può valere per "qualsiasi" funzione.
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