Dimostrare che l'equazione diofantea X³ + 2Y³ = 4Z³ possiede soltanto la soluzione banale (0,0,0)
1) X Y non possono avere parità diverse ne possono essere entrambi dispari perchè il 2ºm è pari e multiplo di 4; devono essere entrambi pari e cosí Z
dalla X³+2Y³=4Z³
giungo con
X=2x
Y=2y
Z=2z
semplificando alla
x³+2y³=4z³
tale processo dovrebbe ripetersi all′infinito trovando una soluzione via via piu piccola senza arrestarsi e cio è impossibile.
2) il nr 4 dovrebbe potersi scrivere nella forma
a³+2b³=4
e cio′ non avviene (tale eq.ne non ha soluzioni)
3) il modo piu semplice
lavorando mod 4
il primo membro essendo i residui cubici mod 4 1 e 3 dovrebbe essere congruente a 1 o a 3 mentre il secondo è congruente a 0 mod 4. Impossibile
sostituisci zero a tutte le variabili e ottieni l'equazione, potrebbe essere una soluzione
Se (X,Y,Z) è una soluzione anche (-X,-Y,-Z) è una soluzione. Mi limito quindi a soluzioni in cui X ≥ 0.
Tra tutte le soluzioni dell'equazione, sia (X,Y,Z) una soluzione con il più piccolo valore positivo possibile di X.
X deve essere pari perché X³ = 4Z³ - 2Y³ è pari, quindi esiste A intero tale che X = 2A, allora:
8A³ + 2Y³ = 4Z³
e semplificando:
4A³ + Y³ = 2Z³.
Ma allora anche Y deve essere pari, perché Y³ = 2Z³ - 4A³ è pari, cioè Y = 2B per qualche intero B. Sostituendo si ha 4A³ + 8B³ = 2Z³, e quindi:
2A³ + 4B³ = Z³.
Deduciamo che pure Z deve essere pari: Z = 2C con C intero, cioè 2A³ + 4B³ = 8Z³, e semplificando:
A³ + 2B³ = 4Z³.
Ma questa è l’equazione di partenza! La terna (A,B,C) è dunque una sua soluzione. Questo è un assurdo, dato che A = X/2 < X, e (X,Y,Z) era stata scelta come la soluzione con il minimo valore possibile di X.
due monomi sono pari quindi X è pari, allora posso esprimere X come 2x1. A quel punto semplifico e stavolta viene che Y dev'essere pari e anch'esso dev'essere esprimibile come 2y1. A quel punto anche Z dev'essere pari e può essere espresso come 2z1. A sto punto si vede che devo poter continuare all'infinito a dividere per due quindi o sono tutte potenze di due il che è impossibile a causa dei coefficienti 1/2/4. A sto punto sono un po' impappinato ma direi che a occhio ogni altra soluzione è impossibile. Dispari e impossibile ma anche pari si può semplificare e trovi una permutazione dei coefficienti di cui sopra.
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