Osserviamo che un anno ammette un venerdì 13 se esiste un mese che inizia con la domenica. Denotiamo i giorni della settimana con dei numeri. Precisamente 0 denota la domenica, 1 il lunedì , fino a 6, numero che denota il sabato. Se k è un naturale maggiore di 6 allora il giorno che rappresenta è k mod 7. Quindi supponiamo che il primo di gennaio inizi il giorno n con n un naturale tra 0 e 6. Per dimostrare il teorema è sufficiente dimostrare che esiste un mese in cui il primo giorno inizia con k dove k=0 mod7.
Il mese di febbraio inizierà il giorno n + 31 mod 7 = n + 3 mod 7,
il mese di marzo inizierà il girono (n+3)+28 mod 7 = n + 31 mod 7=n+3 mod 7,
il mese di aprile inizierà il giorno (n+3) + 31 mod 7=n+6 mod7,
il mese di maggio inizierà il giorno (n+6)+30 mod 7=n+36 mod 7=n+1 mod 7,
il mese di giugno inizierà il giorno (n+1)+31 mod 7= n+4 mod 7
il mese di luglio inizierà il giorno (n+4)+30 mod7 = n + 34 mod 7 = n+6 mod 7
Il mese di agosto inizierà il giorno (n+6) + 31 mod 7= n + 2 mod 7
Il mese di settembre iniziare il giorno:
(n+2)+ 31 mod 7=n+5 mod 7
Potremmo andare avanti fino a dicembre, ma effettivamente basta così. Infatti abbiamo mostrato che per ogni naturale j compreso tra 0 e 6 (estremi inclusi) esiste un mese dell’anno che inizia il giorno n+j. Allora detto j’ il naturale compreso tra 0 e 6 tale che n+j’=0 mod 7 otteniamo che il mese che inizia con n+j’ è quello il cui 13-esimo giorno è venerdì