può essere espressa come somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

f=g+h con g(x)=(f(x)+f(-x))/2; h(x)=(f(x)-f(-x)) /2

Definiamo l'operatore di parità P che agisce sulle funzioni f(x) come Pf(x)=f(-x). Si dimostra facilmente che tale operatore è auto aggiunto e unitario, quindi ha come unici autovalori 1 e -1. I suoi autovettori f relativi a 1 sono tali che Pf=f, cioè f(-x)=f(x), cioè sono tutte le funzioni pari. Analogamente si mostra che i suoi autovettori relativi a -1 sono tutte le funzioni dispari. Per il teorema spettrale, essendo P auto-aggiunto, è possibile trovare una base, dello spazio vettoriale delle funzioni f(x), costituita da autovettori di P. Dunque ogni funzione f(x) è esprimibile come somma di una funzione pari e di una funzione dispari.