Siccome ogni p>3 è dispari, p-1 e p+1 sono certamente pari. La proposizione si riduce dunque a mostrare che uno di essi è multiplo di 3. Se per assurdo nessuno dei due lo fosse, dovrebbe esserlo necessariamente p, contro l'assunto che p sia primo. L'assurdo cade ammettendo la tesi
potremmo anche ragionare in questo modo:
dato un numero n multiplo di 6: n-2 e n-4 sono multipli di 2, n-3 è multiplo di 3, quindi un eventuale numero primo può trovarsi solo in n-1 o n-5 (che è come dire n+1)
anche ipotizzare in questo modo:
Se 3< n<6 è primo, allora n=5 e la tesi è vera. Sia n>= 6 primo. Allora n si può scrivere in uno dei seguenti 6 modi:
6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5.
Certamente 6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4 non possono essere primi (sono divisibili rispettivamente per 6,2,3,2).
Dunque un primo è per forza della forma 6k+1 o 6k+5. Nel primo caso, il precedente è 6k che è multiplo di 6. Nel secondo caso, il successivo è 6k+6 che è ancora multiplo di 6