dimostrare in modo "semplice", che l'equazione X⁴ + Y⁴ = Z⁴ non possiede soluzioni intere diverse
Pierre de Fermat, propongo di dimostrare in modo "semplice", che l'equazione
X⁴ + Y⁴ = Z⁴
non possiede soluzioni intere diverse da quelle banali.
allora X², Y², Z² sono una terna pitagorica, quindi esisteranno m, n tali che X²=m²-n², Y²=2mn, Z²=m²+n²
X^4+Y^4=Z^4
dividiamo per Z^2
X^4/Z^2 + Y^4/Z^2 = Z^2
deve essere una Terna pitagorica A^2+B^2=C^2
A^2=X^4/Z^2
B^2=Y^4/Z^2
C^2=Z^2
Ma A^2 e B^2 possono esistere solo se Z^2 = sia uguale a X^2 e Y^2 e pertanto Z^2 non può essere uguale ad entrambi, scegliamo sia uguale a X^2 e quindi Y=X Quindi si ha X^4/X^2 + X^4/X^2 = Z^2 uguale a
X^2 + X^2 = Z^2
2*X^2 = Z^2 sotto radice quadrata si ha
radq(2)*X=Z non soluzione con interi.
Dopo aver diviso per Z² non si ha più un'equazione pitagorica. Conviene, piuttosto, porre
X² = x, Y² = y, Z² = z se si vuole ragionare su un'equazione pitagorica.
X^4 + Y^4 = Z^4
le terne pitagoriche primitive sono
x^2 + y^2 = z^2 con x^2=m^-n^2 ecc. dove m e n coprimi fra di loro.
Se consideriamo x, y, z una terna primitiva, le terne complete sono moltiplicate di un fattore K univoco per entrambe.
Quindi la funzione del post può essere vista come
X^2*X^2 + Y^2*Y^2 = Z^2*Z^2
X^2 , Y^2 , Z^2 iniziali fanno le veci di K ma non sono uguali, quindi non vi è soluzione, se non zero.
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