dimostrazione della formula dell'area di un cerchio attraverso il metodo di esaustione
dimostrazione della formula dell'area di un cerchio attraverso il metodo di esaustione
Per farlo dovrei usare la formula della circonferenza C=2 pi r
dimostrarlo usando l'analisi stessa. Scrivi l'equazione della circonferenza di raggio R centrata nell'origine e invertendo hai y=±√(R²-x²).
La parte con il + é la semicirconferenza superiore e viceversa quella con il -. Prendiamo quella con il +. Puoi a questo punto calcolare la lunghezza della semicirconferenza utilizzando un bel teoremino sulla lunghezza delle curve. Dovresti avere che la lunghezza della semicirconferenza é data dall'integrale da -R a R di √(1+(y')² dx. (Con y' intendo la derivata) Abilmente trova una sostituzione che elimini completamente dall'integrale la R, sia dagli estremi che dall'integrando. Otterrai così che lunghezza semicirconferenza= R × (integrale definito di roba che non ha R al suo interno ne agli estremi). Il valore di quell'integrale é π ma per quanto ti riguarda é solo la costante di proporzionalità fra semicirconferenza e raggio
la metà di AB é evidentemente Rsin(π/n) senza il due perché devi costruire il triangolo rettangolo con l'altezza, quindi usi solo metà angolo al centro. Ogni triangolo é isoscele quindi l'altezza é mediana e bisettrice. Inoltre per non creare tautologie di sorta, ti invito ad utilizzare come misura degli angoli le frazioni di angoli giro, senza dare valore all'angolo (tipo π), anche perché le misure degli angoli sono solo convenzioni. Tipo sin( angolo piatto/n). E ovviamente la similitudine fra triangoli (geometria greca) ti assicura di poter definire le funzioni trigonometriche.
mettere minore uguale, non solo minore (tecnicismi matematici) e dimostrare senza calcolare il limite che il valore del limite sinistro e destro sono lo stesso (e quel valore si chiama 2π). Ma in realtà se vuoi concludere che circonferenza e raggio sono direttamente proporzionali, lo hai già fatto, perché C/R é limitato inferiormente e superiormente da successioni numeriche che non dipendono minimamente dal raggio. Quindi la costante di proporzionalità sarà compresa fra quelle due successioni, a prescindere che entrambe le successioni convergano allo stesso valore.
dimostrare che i limiti esistono, e sono uguali, non quanto valgono
Per farlo potresti vedere cosa fa il limite del rapporto fra i due dopo aver dimostrato che i limiti esistono. In questo modo puoi fare vedere che tende ad 1 senza dover effettivamente usare il limite notevole (nel rapporto le n spariscono e anche i seni, lasciandoti un cos (180/n) che ovviamente va a 1)
il rigore matematico c'è tutto (ammesso che dimostri l'esistenza di quei due limiti). Ovviamente devi mettere le paroline magiche, ovvero tutti i teoremi con relative ipotesi soddisfatte che utilizzi
Se vuoi dimostrare che C=2*pi*r usando solo la geometria (e il limite notevole per il seno) io farei così:
Inscrivi un poligono con N lati nel cerchio, di questo poligono ti vuoi calcolare quanto vale il lato, per farlo dividi il cerchio in triangoli isosceli che partono dal centro, i due lati laterali sono uguali al raggio l'angolo tra loro è 2*pi/N (angolo giro diviso il numero di triangoli). A questo punto fai un po' di trigonometria e vedi che il lato del tuo poligono misura L=2*r*sin(2*pi/2N) se N tende a infinito il limite notevole del seno ti dice che questo lato L = 2*r*pi/N + o(1/N^2), ora quello che fai è sommi tutti i lati, che sono N, per cui ottieni che il perimetro è 2*pi*r + o(1/N) se mandi N a infinito ottieni la circonferenza del cerchio poiché gli ordini 1/N (che è una stima dell'errore dell'approssimazione che fai per il lato) vanno a zero.
Le uniche supposizioni da fare sono il fatto che un arco di circonferenza ha lunghezza maggiore della corda sottesa e che, dato un segmento lungo r, posso considerare su di esso un segmento lungo α*r per ogni 0<α<1 (in modo che i due segmenti abbiano un estremo in comune).
prendendo la disuguaglianza nella foto che ho mandato, considerando la circonferenza di raggio 1, si ottiene cos(x)<sin(x)/x<1. In realtà, per far ciò, stai considerando la misura dell’angolo in radianti che, nel caso della circonferenza unitaria, corrisponde alla lunghezza del settore circolare individuato dall’angolo. In generale, puoi dire che esiste una qualche proporzione tra l’angolo e il settore circolare corrispondente (avendo fissato il raggio della circonferenza).. quindi, dopo aver detto che sin(x)/(settore circolare individuato da x) tende ad 1 per x che tende a zero, deduci che sin(x)/x tende ad una certa costante.
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