A sommi capi ho effettuato i seguenti passi:

nell'integrale di partenza ho effettuato il cambio di variabile z con y

ho diagonalizzato la matrice Sigma^-1, che è simmetrica e quindi gli autovettori possono essere scelti ortonormali

ho manipolato un po' l'espressione, giungendo al punto che l'integrale poteva esser visto come il valore atteso E [Y_i * Y_j]

nel caso i<>j, l'integrale in maniera intrinseca si può splittare nel prodotto di due integrali E[Y_i]*E[Y_j], dove ho riconosciuto che in entrambi i casi la pdf fosse Gaussian con media 0 e varianza rispettivamente lambda_i e lambda_j. Quindi E[Y_i]*E[Y_j] = 0* 0 = 0

nel caso i=j, allora E [Y_i * Y_j] = E [Y_i^2] = E[Y_i]^2 + Var(Y_i) = 0 + lambda_i

ho concluso ricavando l'espressione della diagonalizzazione della Covarianza