E' più grande 56^57 oppure 57^56 ?
nⁿ⁺¹/(n+1)ⁿ = n/[(n+1)ⁿ/nⁿ] = n/(1+1/n)ⁿ
Al crescere di n il denominatore tende ad e. Se n è maggiore di e la frazione è maggiore di 1.
Quindi 56^57>57^56.
Da quanto sopra si vede anche che il valore per tende a n/e al crescere di n. In effetti 56/e=20,60. Il valore dato dalla calcolatrice (TI89) è 20,78
0¹<1⁰, 1²<2¹, 2³<3²,
ma poi
3⁴>4³, 4⁵>5⁴, 5⁶>6⁵, 6⁷>7⁶, 7⁸>8⁷ ... 56⁵⁷>57⁵⁶
Se in generale confrontiamo (n+1)ⁿ con nⁿ⁺¹, facendo il rapporto del primo col secondo, otteniamo (1+1/n)ⁿ⋅ 1/n.
Il primo termine è la nota successione che tende in modo monotono crescente ad e. Una volta diviso un numero minore di 3 per n otteniamo una quantità minore di 1, quindi (n+1)ⁿ < nⁿ⁺¹ per n>2, in particolare anche per n=56
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