è un tipico esempio di eqz non risolubile per radicali (tranne probabilmente qualche caso speciale, oltre agli ovvi a=0 o b=0).
La teoria di Galois stabilisce una corrispondenza fra la teoria dei gruppi e quella dei corpi. Più in particolare, un polinomio di grado n è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois, sottogruppo di S_n, è risolubile. Ora, il più piccolo gruppo non risolubile (A_5) è quello delle permutazioni pari di 5 elementi la cui cardinalità è 60. Siccome l’ordine di S_4 è 24 e 24 < 60, ne consegue che ogni polinomio di grado inferiore od uguale a 4 è risolubile per radicali. Quando il grado è superiore od uguale a 5, le cose si complicano. Il polinomio può essere risolubile per radicali come può anche non esserlo. Più precisamente, il polinomio P(X) = X^5+20X+16 non è risolubile per radicali, e il suo gruppo di Galois è proprio il più piccolo gruppo non risolubile A_5. Dunque è matematicamente impossibile esprimere le radici di P con le 4 operazioni ordinarie e l’estrazione di radicali. Possiamo invece facilmente stabilire che P, essendo di grado dispari, avrà almeno una radice reale e ancora, poiché P è una funzione strettamente monotona crescente, P avrà un’unica radice reale e 4 radici complesse coniugate