Prescindiamo dalle soluzioni banali, da quelle simmetriche e da quelle corrispondenti a valori negativi delle incognite.
Non potendo essere X = Y,
supporremo X < Z < Y.
Una prima serie di soluzioni è fornita dalla successione di Fibonacci che, ricordo, è definita da
F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n-2) + F(n-1) :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…..
Tra le proprietà della successione di Fibonacci, ci interessa l’identità di Cassini:
se F(n-1), F(n), F(n+1) sono tre termini consecutivi della successione, si ha
F(n-1)∙F(n+1) = F²(n) + (-1)^n per cui, per n pari
si ha F(n-1)∙F(n+1) = F²(n) + 1.
Quindi
X = F(n-1), Y = F(n+1) , Z = F(n) con n pari.
Esempio:
Z = F(6) = 8, X = F(5) = 5, Y = F(7) = 13.
- Altro procedimento.
XY = Z² + 1, è la somma di due quadrati primi tra loro e perciò, per il teorema sulla forma dei numeri, X e Y si devono poter esprimere come somma di due quadrati.
Sia X = a² + b², Y = u² + v²
con a, b, u, v interi positivi. Si ha
XY = (a² + b²)(u² + v²) = (au + bv)² + (av - bu)² =
(av + bu)² + (au - bv)² = Z² + 1.
Supponiamo a, b, fissati, primi tra loro e determiniamo u, v in modo che sia
av - bu = ±1 oppure au - bv = ±1.
Tali equazioni lineari hanno infinite soluzioni.
In conclusione, scelti in modo arbitrario due interi positivi primi tra
loro, a, b, si ha
X = a² + b², Y = u² + v²,
Z = au + bv, se av - bu = ±1;
Z = av + bu, se au - bv = ±1.
Esempio. Sia a = 5, b = 3.
Le soluzioni dell’equazione 5u - 3v = 1 sono
u = 3k + 2, v = 5k + 3 per cui
X = a² + b² = 34,
Y = u² + v² = (3k + 2)² + (5k + 3)² =
34k² + 42k + 13,
Z = av + bu = 5(5k + 3) + 3(3k + 2).