Esiste la funzione inversa del fattoriale ?
La curiosità, potrebbe essere:
La funzione inversa del fattoriale, intero, puoi definirla da un sottoinsieme "sparso" di N a N (zero eslcuso, per la questione 0!=1!), ma non ha una forma analitica, né credo esista uno speciale metodo per trovarne i valori o sapere se un dato N appartiene o no al suo dominio, se non provare. E non direi abbia applicazioni così frequenti da meritare un simbolo dedicato, basta chiamarla f(n) e darne le caratteristiche. Puoi procedere in modo analogo per l'inversa della Gamma di Eulero, che è la "versione continua" del fattoriale per numeri anche non interi, che almeno avrebbe come dominio tutta la semiretta senza punti isolati, escludendo anche qui l'intervallo (0,1(, ma di nuovo, non ha una forma spendibile nella pratica (che io sappia, almeno)
Potremmo anche:
Per n ≥ 1 intero, la funzione fattoriale n! è iniettiva ma non suriettiva. Questo vuol dire che, dato un certo intero k, non esiste necessariamente un intero n tale che n! = k. In questo senso, non esiste una funzione inversa del fattoriale.
La funzione fattoriale si estende però ai numeri reali (anzi, addirittura ai complessi) ricorrendo alla funzione Γ (Gamma) di Euler, che di fatto è un’interpolazione del fattoriale a valori non interi (interpolazione costruita secondo una ben precisa logica).
La funzione fattoriale estesa ai reali positivi è “quasi” invertibile, nel senso che è iniettiva e suriettiva da (1,+∞) a (1,+∞). Quindi, assegnato un reale y > 1, esiste un unico reale x > 1 tale che x! = y. Per 0 ≤ x ≤ 1 non è iniettiva.
Non esiste però un’espressione analitica per la funzione inversa.
Aggiungo che la funzione Γ di Euler è definita su quasi tutto il piano complesso ed assume anche valori negativi e complessi.
In allegato il grafico dell’estensione del fattoriale per x ≥ 0 reale.
sui reali positivi si potrebbe partire dal punto x₀ in cui Γ è minima (non credo sia calcolabile analiticamente), e considerare Γ: (x₀, +∞) → (Γ(x₀), +∞). Così definita, Γ sarebbe invertibile. Però, se considero Γ: [0, +∞) → (Γ(x₀), +∞), allora è suriettiva ma non iniettiva. Per semplicità, ho preferito escludere l'intervallo "problematico".
About Post Author
