senza però ricorrere a nozioni come norma o prodotto scalare?

Premetto che conosco la formula esplicita della generalizzazione del teorema di Pitagora in più dimensioni.

Arriviamo al punto

Se in R^2 voglio conoscere la distanza di un punto P=(x, y) dall'origine O del sistema di assi cartesiani, prendo il punto Q=(x, 0), ovvero la proiezione del punto P sull'asse x, mi costruisco un triangolo rettangolo e uso il teorema di Pitagora.

Se in R^3 voglio conoscere la distanza di un punto P=(x, y, z) dall'origine O del sistema di assi coordinati faccio allo stesso modo. Prendo il punto Q=(x, y, 0) come proiezione del punto P nel piano "terra" xy, mi costruisco il triangolo rettangolo e uso Pitagora.

Però uso Pitagora con questa idea, la lunghezza del segmento OQ nel piano xy la calcolo con Pitagora in 2-D come ho fatto prima, mentre la lunghezza di QP è proprio la coordinata "z" del punto P.

Se mi sposto in R^4, dato un punto P=(x, y, z, t) se voglio conoscere la distanza dall'origine come posso fare?

IDEA: immagino di prendere il punto Q come proiezione di P in R^3, costruisco un triangolo (?) e uso Pitagora. Questa volta la lunghezza del segmento OQ la ricavo da Pitagora in 3D e la lunghezza di QP è proprio la coordinata di P rispetto al punto Q.

Ora ammesso che quanto detto in R^4 sia vero, esiste una dimostrazione di ciò?

Più in generale, esiste una dimostrazione in R^n?