Esistenza ed unicità di coppia di numeri reali (x,y) t.c. x + x = y x • x = y x^x = y
x=2, y=4
l'esistenza si prova banalmente infilando questi valori nelle 3 equazioni
per l'unicità, parto dalle ultime due:
x.x=y=x^x, quindi
x^2=x^x
se x è negativo, l'equazione non sarebbe vera: pari=dispari
se x è nullo, viene 0=forma indeterminata, e, considerando la prima equazione viene x=0 y=0
se x è positivo, coi logaritmi:
2lnx=xlnx ed essendo x positivo, semplificando 2=x
Resta il problema di x=0 che produce una forma indeterminata con la 3a equazione
ma come ci si pone davanti all'indetrrminazione di 0^0 che risulterebbe per x=0, condizione che soddisferebbe 2 equazioni ma appunto non la terza? Calcolo il lim per x che tende a 0 di x^x?
considerando la derivata di x^x:
d/dx x^x = (x^x)(lnx+1)
per x che tende a 0, essa tende a meno infinito per la funzione stessa indeterminata, quindi un ulteriore indeterminazione,
derivando ancora viene la seguente derivata seconda
(x^x)(lnx+1)+1/x,
ulteriore indeterminazione per x che tende a 0
Bastano le prime due: X+X=XxX
2X=X^2
X=(X^2)/2
1=X/2
X=2,Y=4
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