estremi vincolanti (Analisi Matematica II) metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Basta fare tutte le combinazioni possibili tra i risultati di x e y che hai trovato.
Le restanti soluzioni si trovano imponendo, dalla prima equazione, x=0 e ricavando y dall'ultima (sono due punti del tipo (0,+-y0)) e poi imponendo y=0 e ricavando x dall'ultima (altri due punti)
Quindi sono in totale sono 8 punti
L'implicazione lambda=1 è scorretta, poiché un'altra soluzione dell'equazione in y è data da y=0, che analizziamo alla fine.
Proseguendo nella tua catena di ragionamenti relativi alla soluzione lambda=1, anche la deduzione x=±sqrt(3/2) non è corretta in quanto c'era anche la soluzione x=0, che poi implica (sostituendo nell'equazione del vincolo) y=±sqrt(5).
Per quanto riguarda la soluzione y=0, devi capire se è compatibile con le altre due equazioni, ossia quella della derivata rispetto a x e col vincolo. Non ho fatto i conti, ma credo siano incompatibili.
Riassumendo: hai le 2 soluzioni
(0,±sqrt(5)) (che non avevi visto trascurando la soluzione x=0)
e le 4 soluzioni
(±sqrt(3/2),±sqrt(17/4)) (che avevi già visto, e sono 4 poiché vanno bene tutte le combinazioni di + e -)
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