1³=1=1²,
1³+2³=9=(1+2)²,
1³+2³+3³=36=(1+2+3)²,
1³+2³+3³+4³=100=(1+2+3+4)²,
1³+2³+3³+4³+5³=225=(1+2+3+4+5)² e così via.
Questo risultato è conosciuto in matematica con il nome di Teorema di Nicomaco ed afferma che la somma dei cubi dei primi n numeri interi positivi, coincide con il quadrato della somma dei primi n numeri interi positivi.
La dimostrazione è elementare, ma piuttosto ingegnosa e può essere costruita a partire da due osservazioni.
Prima osservazione. Si consideri il seguente schema:
1 1³
3 5 2³
7 9 11 3³
13 15 17 19 4³
21 23 25 27 29 5³
Risulta chiaro che ogni cubo di un numero intero positivo “n” è uguale alla somma proprio di “n” numeri dispari consecutivi (quelli della riga in cui si trova il cubo considerato). Questo avviene perché il valor medio dei numeri dispari considerati in ogni riga è n² ed è come se quell'n² lo stessimo sommando per sé stesso per n volte ottenendo n³, quando sommiamo tutti i numeri scritti in ogni riga.
Seconda osservazione. La somma dei primi due numeri dispari è 1+3=4=2² , la somma dei primi tre numeri dispari è 1+3+5=9=3² , la somma dei primi quattro numeri dispari è 1+3+5+7=16=4² e così via. In altri termini, la somma dei primi “n” numeri dispari è uguale a n².
Da queste due osservazioni, si può dedurre la dimostrazione del Teorema di Nicomaco. Infatti, la somma dei cubi dei primi "n" numeri naturali, corrisponde alla somma dei numeri dispari contenuti nel triangolo di numeri sopra considerato:
1³=1=1²,
1³+2³=1+(3+5)=(1+2)²,
1³+2³+3³=1+(3+5)+(7+9+11)=(1+2+3)²,
1³+2³+3³+4³=1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)=(1+2+3+4)²,
1³+2³+3³+4³+5³=1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+(21+23+25+27+29)=(1+2+3+4+5)² e così via.
Quindi, 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)².