P = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)

dove con P(i) abbiamo indicato la Probabilità che esattamente i persone siano presenti in tutte le 5 estrazioni.

Iniziamo a calcolare le P(i).

Per calcolare la P(i) dobbiamo calcolarci la probabilità che una "determinata" i-upla sia estratta in una posizione precisa in una determinata estrazione.

Poi moltiplicare per il numero di posizioni possibili nella singola estrazione.

Successivamente, dovremo moltiplicare il risultato avuto per il numero di estrazioni

Infine moltiplicare il risultato per il numero di i-uple possibili.

Consideriamo il primo caso, ossia P(1)

Calcoliamo la probabilità che un determinato candidato (es. Mario) sia estratto come primo nella prima estrazione.

Sarà uguale a 1/24. Ma Mario potrà essere scelto come primo, come secondo, come terzo, ecc.... Ossia in C(6, 1) modi (C(n, m) sono le combinazioni possibili)

Quindi avremo che il risultato, finora, sarà (1/24)*C(6, 1)

Ma questo vale solo per la prima estrazione. Noi vogliamo che si verifichi in tutte le estrazioni. Quindi avremo:

P(1, parziale)= ((1/24)*C(6, 1))^5

Ma questo risultato varrà solo per Mario. Noi, invece, stiamo cercando la probabilità per qualunque persona. Quindi avremo:

P(1) = ((1/24)*C(6, 1))^5 * C(24, 1)

Analogamente avremo:

P(2) = ((1/24)*(1/23)*C(6, 2))^5 * C(24, 2)

P(3) = ((1/24)*(1/23)*(1/22)*C(6, 3))^5 * C(24, 3)

P(4) = ((1/24)*(1/23)*(1/22)*(1/21)*C(6, 4))^5 * C(24, 4)

P(5) = ((1/24)*(1/23)*(1/22)*(1/21)*(1/20)*C(6, 5))^5 * C(24, 5)

P(6) = ((1/24)*(1/23)*(1/22)*(1/21)*(1/20)*(1/19)*C(6, 6))^5 * C(24, 6)

Con 24 candidati e 10.000.000 prove:

almeno un estratto tutte le volte: 233142/10000000 p = 0.0233142

esattamente 1 estratto tutte le volte: 231843

esattamente 2 estratti tutte le volte: 1297

esattamente 3 estratti tutte le volte: 2

esattamente 4 estratti tutte le volte: 0

esattamente 5 estratti tutte le volte: 0

esattamente 6 estratti tutte le volte: 0

Con 8 candidati e 10.000.000 prove:

almeno un estratto tutte le volte: 9575779/10000000 p = 0.957578

esattamente 1 estratto tutte le volte: 2812627

esattamente 2 estratti tutte le volte: 4412879

esattamente 3 estratti tutte le volte: 2065798

esattamente 4 estratti tutte le volte: 276615

esattamente 5 estratti tutte le volte: 7843

esattamente 6 estratti tutte le volte: 17

Con 6 candidati e 10.000.000 prove:

almeno un estratto tutte le volte: 10000000/10000000 p = 1

esattamente 1 estratto tutte le volte: 0

esattamente 2 estratti tutte le volte: 0

esattamente 3 estratti tutte le volte: 0

esattamente 4 estratti tutte le volte: 0

esattamente 5 estratti tutte le volte: 0

esattamente 6 estratti tutte le volte: 10000000