Ho una serie che da n=1 arriva ad infinito che ha per argomento (n-ncos(1/n))
la serie è a termini positivi per qualsiasi n € [1, +inf), sono passata a verificare che limite di (n-ncos(1/n)) per n-> inf sia uguale a 0 e non lo è (ho applicato il limite notevole del coseno), concludendo che la serie diverge
ricondursi alla serie armonica generalizzata tramite il criterio del confronto asintotico, studiare il carattere di 1/n che, per l’appunto, diverge
Visto che 1/n tende a 0, cos(1/n) tende a 1 e quindi n-ncos(1/n) tende a 0.
per n → +∞, la successione n - n·cos(1/n) ha in effetti come limite 0. Si usa, giustamente, il limite notevole che coinvolge il coseno:
n - n·cos(1/n) = n·[1 - cos(1/n)] = (1/n) · [1 - cos(1/n)] / (1/n)².
Dato che 1/n → 0 per n → +∞, il secondo pezzo [1 - cos(1/n)] / (1/n)² tende a 1/2 per n → +∞ (limite notevole (1-cos 𝜀)/𝜀² = 1/2 per 𝜀 → 0, con 𝜀 = 1/n), e dato che c'è un altro fattore 1/n il limite nel complesso fa 0.
Più in generale, usando gli sviluppi asintotici, si ha 1 - cos(1/n) ~ 1/(2n²) per cui n - n·cos(1/n) ~ 1/(2n) per n → +∞
Nel limite hai:
=N-cos(1/n)/1/n=
Cambiando variabile 1/n=t
=1/t - cos(t)/t=(1-cos(t))/t
Con t->0
Applico hopital
Sen(t)/1=sen(0)=0
Il termine generale si annulla.
Hai sbagliato limite
Il termine generale tende a 0
Ipotizzando:
n - n cos(1/n) = n (1 - cos(1/n)) = n (1 - 1 + (1/n)²/2 + o(1/n³)) = 1 / (2n) + o(1/n²)
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