i francobolli della collezione e nota che se li mette in gruppi di 5 o di 6, non gliene avanza alcuno
se li sistema in gruppi di 11 gliene avanzano 4. In tutto sono 200 francobolli
Se è sia divisibile per 5 che per 6 deve finire per forza con zero, perché per essere divisibile per 5 deve finire con 0 o 5, e se è divisibile per 6 deve essere pari, quindi 0. In tal modo abbiamo ridotto le possibilità a 10,20,30.... 200. Se inoltre dividendo per 11 resta 4 significa che un certo numero moltiplicato per 11 deve dare un numero che finisce con 6 in tal modo sommando 4 da come ultima cifra 0. Quindi abbiamo ridotto i numeri a 66 (11*6) e 176 (11*16) che corrispondono ai numeri 70 e 180. Se questo numero deve essere divisibile per 6 deve anche essere divisibile per 3 e quindi l'unico possibile è 180
Essendo il problema limitato si tratterebbe di fare meno di 20 tentativi perché ogni numero sarà del tipo
multiplo di 11 + 4 che deve risultare divisibile per 5 e per 6.
Si tratta di provare meno di una ventina di casi.
0) 0×11+4 = 4 non è divisibile né per 6 né per 5.
1) 1×11+4=15 non è divisibile per 6
2) 2×11 + 4 = 22+4=26...
Ora però facciamo un ragionamento, anziché provare tutti i casi.
1. Se un numero viene moltiplicato per 11 la cifra delle unità di quel numero determina anche la cifra delle unità del risultato: è la stessa cifra.
Ora se un numero deve essere divisibile per 5 la sua cifra delle unità deve essere 0 o 5.
2. Questo significa che il multiplo di 11 deve terminare con 1 o con 6, perché così quando aggiungo 4 ottengo un numero che termina per 5 o 0.
Poi siccome deve essere divisibile per 6 il numero dei francobolli deve deve essere pari. Siccome al multiplo di 11 aggiungo 4 anche il multiplo di 11 deve essere par, altrimenti quando aggiungo 4 otterrei un numero ancora dispari.
Quindi il multiplo di 11 non può finire con 1.
Può finire solo con 6.
Ricordando 1. possiamo dire che i multipli possono essere solo
6×11=66 o 16×11=176, ci fermiamo perché con 26×11 siamo già oltre 200.
66+4 =70 non è divisibile per 6..
176+4=180 è divisibile per 6: BINGO!
Soluzione compatta
Il numero f di francobolli deve essere
f=k11+4
per qualche k
essendo l'ultima cifra di k11, diciamo u, la stessa di k dovrò avere che
u +4 deve essere 5 o 10 per la divisibilità per 5
Quindi u può essere 1 o 6.
u deve essere pari altrimenti k11+4 sarebbe dispari e non potrebbe così essere divisibile per 6.
Allora u può essere solo 6.
Se k = 6 abbiamo, che f= 70
Che non è divisibile per 6.
Se k = 16 abbiamo f=180 che soddisfa la divisibilità per 6 e per 5.
Siccome 26×11>20×11>200, ci fermiamo.
I francobolli sono 180.
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