I TETRAEDRI DI REEVE, geometria
Il celebre teorema di Pick,
permette di calcolare l'area di un poligono P non intrecciato, i cui vertici giacciono su un reticolo quadrato, in funzione del numero b dei punti del reticolo sul bordo di P e di quello i dei punti del reticolo all interno di esso:
Area(P) = i + b/2 -1.
si consideri come reticolo quello di punti dello spazio a coordinate intere, si scelga un intero positivo r arbitrario e si prenda il tetraedro P(r) i cui vertici siano dati da
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, r).
Questo è detto "tetraedro di Reeve"
Reeve dimostrò che P(r) non contiene punti a coordinate intere a parte i quattro vertici. D'altra parte, la formula determinante per il volume del tetraedro fornisce
Volume(P(r)) = r/6,
quindi P(r) è una funzione strettamente crescente di r.
Ciò mostra, in particolare, che non esiste nessuna formula che calcoli il volume di un poliedro, i cui vertici giacciono su un reticolo cubico, che dipenda solo dal numero dei punti del reticolo contenuti nel poliedro stesso (bordo compreso).
Una corretta generalizzazione del teorema di Pick in dimensione 3 può essere tuttavia ottenuta esprimendo tale volume per mezzo dei cosiddetti "polinomi di Ehrhart"
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