Determinare l'espressione di N in modo che il numero di divisori di
2N² sia:
1) Massimo;
2) Minimo.
Affinché N abbia 12 divisori, dovrà essere in una delle seguenti forme:
a) N = p * q * r^2
b) N = p^2 * q^3
c) N = p * q^5
d) N = p^11
Con p, q e r numeri primi.
Studiamo il primo caso.
Caso a1: N è dispari.
In questo caso 2*N^2 = 2*p^2*q^2*r^4
Il numero di divisori sarà, quindi, 2*3*3*5 = 90
Caso a2: N è pari.
In questo caso 2*N^2 = 2^3 * q^2 * r^4 (con numero di divisori = 60)
oppure 2*N^2 = p^2 * q^2 * 2^5 (con numero di divisori = 54)
Studiamo il secondo caso.
Caso b1: N è dispari.
In questo caso 2*N^2 = 2*p^4*q^6
Il numero di divisori sarà, quindi, 2*5*7 = 70
Caso b2: N è pari.
In questo caso 2*N^2 = 2^5 * q^6 (con numero di divisori = 42)
oppure 2*N^2 = p^4 * 2^7 (con numero di divisori = 40)
Studiamo il terzo caso.
Caso c1: N è dispari.
In questo caso 2*N^2 = 2*p^2*q^10
Il numero di divisori sarà, quindi, 2*3*11 = 66
Caso c2: N è pari.
In questo caso 2*N^2 = 2^3 * q^10 (con numero di divisori = 44)
oppure 2*N^2 = p^2 * 2^11 (con numero di divisori = 36)
Studiamo il quarto caso.
Caso d1: N è dispari.
In questo caso 2*N^2 = 2*p^22
Il numero di divisori sarà, quindi, 2*23 = 46
Caso d2: N è pari.
In questo caso 2*N^2 = 2^23 (con numero di divisori = 24)
Riassumendo:
Affinché il numero di divisori di 2*N^2 sia massimo, N deve essere un numero dispari della forma p*q*r^2
Affinché il numero di divisori di 2*N^2 sia minimo, N deve essere 2^11