Il problema di Brocard n! + 1 = m^2

Una curiosità matematica! 🙂
Il problema di Brocard
Nella teoria dei numeri, il problema di Brocard chiede di trovare per quali interi n, l'espressione n! + 1 è un quadrato perfetto.
Si congettura che ciò avvenga solo per n uguale a 4, 5 o 7.
In altre parole, non è noto se esistano altre soluzioni (n, m) dell'equazione diofantea
n! + 1 = m²
(dove con n! si intende il fattoriale di un numero; vale a dire il prodotto del numero stesso moltiplicato per tutti gli interi che lo precedono es: 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5040)
Esempio
7! + 1 = 5041 = 71²
Quindi solo le coppie (n, m): (4, 5), (5, 11) e (7, 71)
Queste coppie vengono chiamate numeri di Brown e Solomon Golomb e Paul Erdös ipotizzarono, separatamente, che non ce ne fossero altre.
Questa congettura fu postata da Henri Brocard in due articoli nel 1876 e nel 1885 e, indipendentemente da lui, nel 1913 da Srinivasa Ramanujan.
Nel 1906 A. Gérardin dimostrò che, se esistono soluzioni per m > 71, allora m ha almeno 20 cifre. Nel 1935 H. Gupta affermò che non vi fossero soluzioni per n ≤ 63 oltre a quelle già note.
Nel 1993 M. Overholt dimostrò che, se la forma debole della congettura di Szpiro è vera, allora esistono solo un numero finito di soluzioni dell'equazione.
Nel 1986 Wells verificò che non ci sono soluzioni per n ≤ 10⁷, e nel 2000 Bruce Berndt e William Galway hanno esteso questo risultato ad n ≤ 10⁹.
Matson ha recentemente affermato (2017) di averlo esteso di 3 ordini di grandezza a un trilione.
Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard (Vignot, 12 maggio 1845 – Bar-le-Duc, 16 gennaio 1922) è stato un ufficiale delle forze armate che si occupò di matematica, geometria in particolare, e anche di meteorologia.