Nel caso di potenze composte, il calcolo viene eseguito dall'alto verso il basso:
2^3^2=
2 ^(3^2)=
2 ^ 9=512
Quindi 3^3^3=3^27
La radice cubica di 3^27 è 3^9
³√(3^3^3)=
=3^((3^3)/3)=
=3^(3^2)=3⁹=
=19683
Ricordando che:
a^b^c
va inteso come:
a^(b^c),
si trova facilmente il risultato già fornito da molti: 3⁹ = 19683.
Sono perfettamente d'accordo che la notazione sia un po' confusionaria, ed è vero che viola la regola normalmente adottata - da sinistra verso destra.
Sul perché sia stato stabilito così, non lo so. Dal punto di vista tipografico, dato che gli esponenti si scrivono più in piccolo, c'è meno ambiguità rispetto ad altre operazioni in cui tutti gli operandi sono "sullo stesso piano".
Una possibile spiegazione è la praticità. Se a^a^a^a^··· si interpretasse come (((a^a)^a)^a)^···, sarebbe in pratica a^(a·a·a···), che già ha un modo semplice per scriversi. Per scrivere la tetrazione si dovrebbero invece mettere tutte le parentesi, quindi riservare questa notazione fa risparmiare parentesi.
Un altro caso dove sembra essere "naturale", per esempio considera la scrittura:
e^(x^2+1)
In questo caso è ovvio che x^2+1 è l'esponente. Ma quindi se tolgo il +1 dovrebbe cambiare l'interpretazione? Diciamo che mi sembra più naturale se penso all'esponente come messo fisicamente in alto a destra rispetto alla base, piuttosto che usando l'operatore ^.
Comunque... non voglio difendere la scelta, mi limito a registrare l'uso che se ne fa. Sono d'accordo che è inconsistente con simili convenzioni per le altre operazioni.