ad un certo punto, si imbattono nel tema dei numeri irrazionali ed in particolare nella famosa radice di 2 che mise in crisi lo stesso Pitagora!! Con la spensieratezza della loro età, e seguendo un ritmo reggae, si ritrovano una sera ad intonare un ritornello:

"Si risolve la questione,

neppur là sul K2

troverai una frazione

che al quadrato faccia due!"

Subito dopo però diventano seri e sfoderano una dimostrazione ad absurdum assai elegante.

Supponiamo che esista una frazione a/b il cui quadrato sia uguale a due. Supponiamo, inoltre, che questa frazione sia scritta nel modo più semplice possibile e quindi che "a" e "b" non abbiano divisori comuni, ma siano primi tra loro.

Possiamo quindi scrivere:

a²/b²=2

a²=2b² (1)

Ora, essendo a² pari, ne consegue che anche "a" è pari. Poniamo allora a=2c e quindi la (1) si scrive

4c²=2b²

2c²=b²

Quindi anche "b" è pari il che è impossibile perché avevamo ipotizzato "a" e "b" primi tra loro. Di conseguenza l'ipotesi che esista una frazione a/b il cui quadrato faccia due è falsa. Quindi la radice quadrata di due non può essere espressa attraverso un numero razionale.

PS

Forse a 17 anni non lo sapevano, ma, nella loro dimostrazione, Lea e Jonathan dicendo che a/b è una frazione "semplice" avevano dato per scontato Il "Teorema fondamentale dell'aritmetica" che afferma che ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi e tale rappresentazione è unica. Pertanto, partendo ma una qualsiasi frazione m/n, attraverso un processo di semplificazione progressivo, si può arrivare ad avere una frazione a/b più semplice di m/n con "a" e "b" primi tra loro.