aggiungo una dimostrazione elementare:
x y non possono essere entrambi dispari pena la contraddizione:
dispari=2
1) x y entrambi pari
x=2h
y=2k
porta a
4h³+4k³-6hk=1 impossibile
2) x dispari y pari
x=2h+1
y=2k
porta a
8h³+8k³+12h²+6h-12hk-6k=1
impossibile
3) x pari
y dispari
x=2h
y=2k+1
porta a
8h³-12hk-6h+8k³+12k²+6k=1
impossibile
tutte impossibili perché implicano pari = dispari
Il caso x pari, y dispari è equivalente al caso x dispari, y pari perché l'equazione è simmetrica rispetto a x, y.
Considerando l'identità
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
Ponendo z = 1, il problema si riduce a
(x + y + 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y) = 3
Quindi le due quantità tra parentesi possono assumere solo 4 valori ±1e ±3.
Risolvendo la forma quadratica (imposta uguale ai suddetti valori) negli interi, le soluzioni non portano mai ad avere il valore (x + y + 1) necessario. Quindi l'equazione è insolubile negli interi.
Un modo consiste nell'osservare che il secondo membro è pari e x e y devono essere scelti necessariamente entrambi pari affinché lo sia sia anche il primo. Posto x=2m, y=2n si ha
8m³ + 8n³ - 12mn = 2
4m³ + 4n³ - 6mn = 1
2(2m³ + 2n³ - 3mn) = 1
che ovviamente è impossibile per m e n interi.
Una secondo modo meno immediato possiamo trovarlo riscrivendo l'equazione nel seguente modo:
x³+ y³- 3xy = (x+y)³-3x²y-3xy²-3xy=(x+y)³-3xy(x+y+1)=2
Posto x+y=s e xy=s si ha:
s³-3p(s+1)=2 --> p= (s³-2)/(3*(s+1))
Affinché s³-2 sia divisibile per 3 è necessario (piccolo teorema di Fermat) che s=2+3t -->
p=(27t³+54t²+36t+6)/(3*(3t+3)) -->
p=(9t³+18t²+12t+2)/(3t+3)
Sviluppando la divisione si trova:
p=3t²+3t+1-1/(3(t+3))
Il termine 1/(3(t+3)) non potrà mai essere intero perché il numeratore è 1 ed il denominatore >= 3 quindi non ci sono soluzioni.