Indichiamo con |X| la cardinalità di un insieme X. Dimostrare che se |A| = |A'| , |B| = |B'| e A ∩ B = A' ∩ B' =∅ ; allora |A ∪ B|=|A' ∪ B'|
Per ipotesi, esistono due biiezioni 𝜑: A → A', 𝜓: B → B'. Voglio costruire una biiezione 𝜒: A∪B → A'∪B'. Sia ora x ∈ A∪B; cioè x ∈ A oppure x ∈ B. Dato che A∩B = ∅, si verifica solo una delle due possibilità. Pongo dunque 𝜒(x) = 𝜑(x) se x ∈ A, 𝜒(x) = 𝜓(x) se x ∈ B. 𝜒 è iniettiva perché lo sono sia 𝜑 che 𝜓, e dato che A'∩B' = ∅ non esistono x₁ ∈ A, x₂ ∈ B tali che 𝜑(x₁) = 𝜓(x₂). 𝜒 è suriettiva perché ogni elemento z di A'∪B' appartiene ad A' oppure a B', ed appartiene quindi all'immagine di 𝜑 oppure di 𝜓 (che sono suriettive), esiste cioè x₁ ∈ A oppure x₂ ∈ B tali che 𝜑(x₁) = z oppure 𝜓(x₂) = z.
In conclusione 𝜒 è una corrispondenza biunivoca tra A∪B e A'∪B', che hanno quindi la stessa cardinalità.
Esiste una biezione f: A--> A' ed una biezione g: B---> B'
l'applicazione h: AUB ----> AìUB' così definita
/ f(x) se x € A
h(x)= | è una biezione
\ g(x) se x € B
E' ovvio che sia suriettiva, ma è anche iniettiva, infatti:
Supponendo per assurdo che y € A', (Discorso analogo si può fare se y € B') se esistano x e x' diversi di AUB per cui h(x)=h(x')=y'. Se x € A e x' € B, chiamato h*(x) come l'inversa di h si ottiene che x'=h*(y)=f*(y) sarebbe un un elemento sia di A che di B, in quanto f* porta da A' ad A., il che è assurdo poiché sono per ipotesi disgiunti. dunque questi due ipotetici elementi x ed x' sono contenuti entrambi in A, Ma per la inietività di f , x= x'. Per cu h(x( è biettivo, e , come conseguenza AUB è equipotente ad A'UB'.
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