integrale da 0 a infinito di arctan(ax) arctan(bx)
I=∫(arctan(ax)arctan(bx)/x²)dx|0, ∞
si calcola dI/da
e poi d²I/(dbda)
col trucco di Feynman.
ottendo
I′′=d²I/(dbda)=
∫dx/((1+(ax)²)(1+(bx)²))|0, ∞
a questo punto si puo sviluppare in frazioni parziali
otteniamo
I′′=a²/(a²-b²)∫dx/(1+(ax)²)-b²/(a²-b²)∫dx/(1+(bx)²) |0, ∞
I′′= (a·arctan(ax)-b·arctan(bx))/(a²-b²)+c
integrando tra 0 e∞
I′′=π/(2(a+b))
ora si integra a ritroso sfruttando
la conoscenza di
I, I′, I′′ in (a, b)
per a=0 e b=0
si ottiene
I=(π/2)ln[(a+b)ᵃ⁺ᵇ/(aᵃbᵇ)]
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