La (ii) spiega cosa sono i raffinamenti. Sostanzialmente dice che P' è un raffinamento di P se ogni sottointervallo individuato da P può essere ottenuto mettendo assieme qualche sottointervallo individuato da P'.

Osserva che date due partizioni non è detto che l'una sia più fine dell'altra [esempio, dividi un intervallo in due metà oppure in tre terzi, ottieni due partizioni non confrontabili].

La (iii) spiega che due partizioni individuano un comune raffinamento. [esempio bidimensionle pratico, hai tre fogli di carta lucida su cui è presente lo stesso disegno di un rettangolo. Sul primo rettangolo disegna una griglia a maglia quadrata, sul secondo a maglia esagonale. Le due griglie sono due partizioni diverse. Sovrapponi questi fogli in modo che i rettangoli combaciano, e sul terzo foglio ricalca entrambe le griglie: questo è il raffinamento comune. Il senso è lo stesso anche in dimensione 1 o n]

(iv) Se hai una funzione limitata su un intervallo S limitato allora hai anche il numeri inf[f(S)]. Moltiplicalo per la lunghezza di S, denotata con |S|, ed hai inf[f(S)]*|S|. Adesso prendi f, E e P come ti dice il libro, ripeti lo stesso procedimento per ogni sottointervallo di E individuato da P e poi fai le somme. Hai ottenuto la somma inferiore di f relativa a P. Se usi i sup ottieni la somma superiore relativa a P.