La derivata è la fatica che fai a percorrere un sentiero (la funzione).
L'integrale è l'energia che hai bruciato nel percorso.
Con questo, puoi provare ad applicare il concetto a diversi campi (elettrico, ad esempio: derivata = resistenza, integrale = energia).
la derivata in un punto può essere vista come il coefficiente angolare della retta tangente nel punto del grafico della funzione. L’integrale in un intervallo può essere interpretato come l’area sottesa al grafico della funzione.
a) - Vedi la derivata come una variazione di qualcosa. Più la variazione è rapida, maggiore è il valore della sua derivata.
b) - Vedi l'integrale come l'accumulo di qualcosa, in genere nel tempo.
Nella vita:
A) - una notizia importate creerà stupore in proporzione alla rapidità con la quale ti sarà comunicata. Il "sobbalzo" dello stupore è proporzionale alla derivata.
B) - Il valore raggiunto dal tuo conto in banca dopo un anno è proporzionale all'integrale dei bilanci giornalieri nello stesso periodo.
In extrema sintesi:
1) - derivata è assimilabile ad una differenza;
2) - integrale è assimilabile ad una somma.
Nell'auto, la derivata la leggi sul tachimetro e l'integrale nel contachilometri
La derivata è il tasso di crescita (in + o in -) di una variabile rispetto ad un'altra, in ogni istante, perché può essere diversa da istante a istante.
Ad es. se apri un rubinetto con una pentola sotto e consideri la variabile litri di acqua nella pentola rispetto al tempo, hai che a t=0 è L=0, poi cresce t, ed L. Se lasci il rubinetto sempre aperto allo stesso modo, L cresce con t sempre allo stesso tasso. Dopo 10s, hai 1L; dopo 20s, hai 2L. Etc.
Ma se apri e chiudi il rubinetto il concetto di derivata diventa interessante perché ti dice che magari tra 7s e 8s la L è cresciuta molto (magari 0.3L), ma tra 8s e 9s poco (0.1L), etc.
L'integrale è in sostanza il prodotto di due variabili. Però con un accorgimento.
Nell'es. della pentola, se consideri le variabili: tempo t e velocità v dell'acqua in L/s, per calcolare l'acqua totale (Volume) nella pentola basta moltiplicarle:
Vol = v*t, ad esempio se in 10 secondi, prendi la v che hai, e la moltiplichi per 10.
Se però v è variabile lungo il periodo di 10s, ad es. v varia tra 0 e 2L/s, che valore prendi per moltiplicarlo per 10s?
Non puoi. Non funziona.
E allora si spezzetta quel periodo di 10s in tantissimi periodi brevi (infinitesimi: dt), in ognuno dei quali v è circa costante; si moltiplicano v e dt; poi si somma il tutto. Quello è l'integrale, e in questo esempio ti dà il volume totale di acqua nella pentola.