Se ho una derivata per esempio 3x^2 e voglio calcolare la funzione da cui deriva appunto 3x^2, calcolo che la funzione primitiva è
f(x)=x^3 (domanda nella domanda), si può scrivere anche nella forma F = x^3 ?
un'equazione differenziale è una generalizzazione del calcolare la primitiva di una funzione. Un'equazione differenziale in generale ha un grado, ovvero l'ordine della derivata massimo che appare nella tua equazione. Ogni equazione differenziale (con le ipotesi del caso) del primo ordine, ovvero che coinvolge solo la derivata prima, e che non coinvolge la funzione incognita in maniera esplicita può essere scritta come y'(x)=f(x) e quindi risolverla significa calcolarsi proprio la primitiva. Tuttavia se compare esplicitamente la funzione stessa y(x) allora l'equazione differenziale generale diventa y'(x)=f(y(x),x) e questa volta non è più equivalente a calcolare la primitiva. Ora credo che sia chiara la differenza tra i due concetti: calcolarsi la primitiva è un particolare tipo di equazione differenziale ma ogni equazione differenziale non è equivalente a calcolare la primitiva di una funzione.
In generale non si può calcolare la primitiva né sapere se la funzione cercata esista veramente. Lo studio delle equazioni differenziali serve appunto a studiare se esiste una funzione (non necessariamente la sua forma esplicita), a capire come si comporta senza conoscerne l'espressione esplicita, a vedere come dipende dalle condizioni iniziali, e così via.
Osservazione:
Equazione differenziale : equazione la cui incognita è una funzione. Dunque risolverla significa trovare quella funzione.
Primitiva di una funzione : cioè che si ottiene facendo l'integrale di quella funzione.