la differenza tra vettori invarianti e controvarianti
la differenza che cerchi è tra vettori covarianti e controvarianti.
Prendi una varietà differenziabile M. In ogni punto puoi costruire uno spazio tangente TM (lo spazio di tutti i vettori tangenti nel punto) e lo spazio cotangente T*M, duale dello spazio tangente (ossia lo spazio dei funzionali lineari che operano sullo spazio tangente). Un vettore controvariante è un elemento dello spazio tangente. Un vettore covariante è un elemento dello spazio cotangente. Tutto qua.
Non ci sono "vettori invarianti": ci sono al massimo scalari invarianti. Se la varietà è riemanniana (o pseudo-riemanniana), si può definire un prodotto interno TM x T*M -> R che ovviamente non dipende dalla base scelta per i due spazî vettoriali, e quindi è invariante.
In un prodotto scalare se siamo nei reali vale la commutatività, nei complessi al fine di garantire che col prodotto scalare si possa assegnare una norma l’inversione è il coniugato. Questa cosa in pratica da importanza alla posizione, nel prodotto scalare. A questo punto detto ciò uno dei due al fine di preservare la norma ha una variazione del modulo, ovvero aumenta e per l’appunto si chiama covariante, l’altro diminuisce e si chiama appunto controvariante. Questa è una spiegazione dei nomi, chiaramente la rappresentazione giusta è quella che qualcuno ha dato di fibra del fibrato tangente e del suo duale ovvero il fibrato cotangente.
la differenza è che da un lato lavori con uno spazio e dall’altro col suo duale.
Quindi qui comunque un po’ nel tecnico di entra ma pensa di avere uno spazio vettoriale V su un campo k allora il suo duale è definito come le mappe da V in k
Quindi un vettore covariante è un elemento di V mentre un vettore controvariante e una mapp che va da V nel campo dove lavori (tipo R o C)
Quidni la differenza è che da un lato lavori con vettori dall’altro con mappe
E in genere un spazio vettoriale e il suo duale sono molto collegati per questo poi uno per studiare la geometria di oggetti matematici li usa entrambi.
Un oggetto è invariante rispetto a una trasformazione se (banalmente) non varia rispetto a quella trasformazione.
Tutti i vettori sono invarianti rispetto a un cambio di base e li posso esprimere con componenti covarianti (che variano concordemente al cambio di base) e controvarianti (che cambiano in modo opposto al cambio di base). Per basi cartesiane ortogonali le due forme di componenti sono uguali e quindi è indifferente parlare di componenti covarianti o controvarianti e si chiamano solo componenti.
Così non è per basi non ortogonali e puoi scomporre il vettore in componenti parallele agli assi coordinati (componenti controvarianti) o perpendicolari (componenti covarianti), che poi queste ultime sono quelle che usualmente si conoscono quando si scompone il vettore lungo gli assi ortogonali.
Ti faccio notare che le componenti controvarianti sarebbero i moduli dei vettori componenti dati dalla regola del parallelogramma.
Per ottenere le componenti covarianti (in basi cartesiane non ortogonali), invece ci sono formule apposite.
Disegna su un foglio un vettore e scomponilo su una base con assi non ortogonali tra di loro e rifletti su quello che ho scritto e vedi che è tutto più semplice.
About Post Author
