La formica e la briciola di pane, matematicamente e geometricamente
Una formichina si trova su un vertice di una intelaiatura cubica, mentre nel vertice opposto si trova una briciola di pane. La formica si muove lungo gli spigoli dell’intelaiatura e quando giunge ad un vertice sceglie casualmente dove proseguire il percorso.
Qual è la probabilità che la formica giunga alla briciola dopo aver percorso n spigoli? In media dopo aver percorso quanti spigoli giunge alla briciola?
I possibili successi prevedono un numero dispari di spigoli percorsi. Con n=2k+1, la probabilità che la briciola sia raggiunta entro n spigoli percorsi è 1-(7/9)^k. La probabilità che la briciola sia raggiunta esattamente in n spigoli è invece (2/9)*(7/9)^(k-1).
Il numero medio di spigoli percorsi per arrivare alla briciola è m=10. La probabilità che la formica raggiunga la briciola dopo aver percorso almeno n=2k+1 spigoli è
P=(2/9)∑ⱼ₌₀ᵏ⁻¹(7/9)ʲ
P=1-(7/9)ᵏ
La probabilità di raggiungere la briciola in k passi esatti è:
P=(2/9)(7/9)ᵏ⁻¹
Posto n= numero dei possibili percorsi che conducono alla briciola (2n+1 è il numero degli spigoli percorsi)
si ha (per n>0):
probabilità(2n+1) = 2/9*sommatoria da 0 a n-1 di (7/9)^n
Es. 3 spigoli ----> n = 1 -----> prob. = 0,222222222
9 spigoli ----> n = 4 -----> prob. = 0,634049688
Inoltre il numero di percorsi mediamente necessari per raggiungere la formica (valore atteso) dovrebbe essere 10
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