Ma la funzione y = ax + b, con b diverso da zero è o non è lineare? Per me non lo è, ma perché invece quando si parla di funzione lineare si fa sempre l'esempio dell'equazione della retta:
y = mx + q e si parla di "lineare affine"? Che vuol dire lineare affine? O la funzione è lineare o non lo è.
Inoltre alcuni affermano che un qualsiasi funzione polinomiale di 1grado è una funzione lineare, è giusto o sbagliato affermarlo?
f(x)=ax+b non preserva la composizione: f(lambda x + mu y) ≠ lambda f(x) + mu f(y)
inoltre: Le rette per l'origine sino sottospazi vettoriali, mentre ax+ b non lo è, e vengono dette sottospazio affine
nel moto uniforme la relazione tra spazio e tempo è lineare? Io direi di sì, anche se nello scrivere la relazione algebrica la scelta del punto di spazio zero al tempo zero è arbitraria. In questo caso la linearità considera gli incrementi, perché il punto di zero è inessenziale agli effetti dello studio del moto.
La confusione deriva dal fatto che nella lingua italiana il primo significato del termine "lineare" è quello di "riferito ad una linea (retta)". Pertanto, sembra naturale chiamare "lineare" l'equazione di una retta ed in effetti vengono chiamate lineari le equazioni polinomiali di primo grado y=ax+b. Ma se la interpreti come funzione f(x) = ax +b allora non è lineare ma, appunto, affine.
"Lineare" è utilizzato spesso in modo ambiguo, con più significati: proporzionale, oppure rispondente alla definizione f(a+b) = f(a) + f(b) e f(ax)=af(x) (e in questo caso di parla di "trasformazione lineare"), oppure relativo all'equazione di una retta o a un polinomio di primo grado (in questo caso si parla di "equazione lineare").
Non sono definizioni equivalenti, per cui a seconda del contesto le spiegazioni cambiano.
La confusione si elimina nella misura in cui è chiaro da dove si parte e dove si vuole arrivare.
Tecnicamente, la relazione di linearità è f(a+b) = f(a) + f(b) e f(ax)=af(x)
In questo senso, y=mx è una TRASFORMAZIONE lineare, mentre y=mx+q non lo è. Entrambe, però, sono equazioni di una retta di primo grado, quindi sono EQUAZIONI lineari.
Trasformazione affine significa composizione di una trasformazione lineare con una traslazione.
Quindi, se y=mx la vediamo come una trasformazione, y=mx + b è una trasformazione lineare più una traslazione, quindi una trasformazione affine. Ma resta sempre una equazione lineare.
Nel caso della retta qualunque, è la relazione tra i rapporti incrementali a soddisfare le proprietà degli operatori lineari : è sempre vero che \Delta y = m \Delta x per ogni retta anche non passante per l'origine.. Per collegare con quanto già ben detto nei commenti sopra, il coefficiente angolare m= \Delta y /\Delta x è proprio ciò che rimane invariate applicando una qualunque traslazione alla retta y = mx [la qual cosa si ottiene sostituendo x con x+a e/o y con y+b per qualche valore a e b reale]
Una funzione é lineare se soddisfa 2 proprietà: f(× +y) = f(x)+f(y) e se f(ax) = af(x) con a num reale. Lo puoi verificare che la retta generica li soddisfa