La funzione fattoriale è definita tradizionalmente solo sui numeri naturali non negativi. Come tale, come notato correttamente nel post, non ha molto senso parlare né della sua derivata né del suo integrale. Attenzione che però non è esattamente corretto dire che la funzione «non è continua», o meglio non è quello il punto. Il punto è che il dominio di definizione è formato da punti isolati, per cui non si possono calcolare limiti, e a maggior ragione non si può definire la derivata. Non ha neppure molto senso di parlare di integrale nel modo "elementare" cui siamo abituati (anche se si potrebbe trattare l'integrale di una funzione definita sui numeri interi nel contesto di teoria della misura). Se poi per integrale si intende "primitiva", siamo da capo, perché la funzione primitiva sarebbe definita solo sugli interi e non avrebbe senso calcolarne la derivata, allo stesso modo in cui non ha senso parlare di derivata del fattoriale.
Esiste però una funzione che generalizza il fattoriale a tutti i numeri reali (eccetto gli interi negativi), che è la cosiddetta funzione Γ di Euler. Questa funzione interpola il fattoriale, nel senso assume i valori del fattoriale in corrispondenza dei numeri interi positivi (nello specifico: Γ(n) = (n-1)! ), ma in più Γ è definita anche per numeri reali arbitrari non interi. Spesso per estensione si scrive x! = Γ(x+1) per ogni x reale (non intero negativo). Ebbene, questa funzione risulta perfettamente derivabile ed integrabile (nel senso che ammette primitiva).
La funzione fattoriale è definita in N e poiché in tale insieme non esistono punti di accumulazione al finito,non ha neanche senso parlare di derivata...l approccio che hai usato,sulla continuità,non è corretto poiché una funzione può essere non continua in un punto e ammettere ,x esempio la derivata destra o sinistra, viceversa una funzione può essere continua in ogni punto del suo insieme di definizione e non ammettere derivata (nel tuo caso,la funzione fattoriale è continua in ogni punto del suo insieme di definizione poiché ogni suo punto è un punto isolato e ogni punto isolato dell insieme di definizione di una funzione costituisce un punto di continuità x essa