la moltiplicazione tra matrici quadrate non è commutativa
Siano A, B due matrici quadrate di ordine qualsiasi, a coefficienti reali, non singolari. Dimostrare che, se A*B = A + B, allora
A*B = B*A
on penso che sia necessaria l'ipotesi che A e B siano non singolari e a coefficienti reali, dovrebbe valere per qualsiasi anello in qualsiasi caratteristica. Infatti da AB=A+B, portando tutto a primo membro e sommando l'identità Id, raccogliendo otteniamo (A-Id)(B-Id)=Id, da cui (A-Id) è l'inversa di B-Id. Poichè per gli elementi invertibili vale anche che (B-Id)(A-Id)=Id, sviluppando e uguagliando alla precedente si ottiene AB=BA
Se R è un dominio d'integrità, la tua dimostrazione si adatta facilmente, immergendo R nel suo campo delle frazioni.
In generale, gli anelli tali che ab=1 implica ba=1 si dicono "Dedekind-finiti". La tua dimostrazione funziona non appena R è un anello tale che Mat_n(R) è Dedekind-finito
le matrici C, D sono una l'inversa dell'altra se e solo se
CD = DC = Id. Quindi, non dico che la tua affermazione sia falsa, ma per poter affermare che B-Id e A-Id sono l'una l'inversa dell'altra, dovresti dimostrare anche l'uguaglianza
(A-Id)(B-Id) = Id.
certamente, l'uguaglianza discende dalla sua ipotesi. Infatti da AB=A+B segue che AB-A-B+Id=Id e usando il raccoglimento parziale a primo membro si ha (A-Id)(B-Id)=Id.
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