la Zeta di Riemann: Z(s)=1/1^s + 1/2^s + 1/3^s
per valori di s reali, interi, pari, negativi la detta funzione ha zeri banali.
Ora considerando la equazione funzionale della Zeta vedo bene come ciò sembri vero, ma se con una verifica diretta sostituisco ad esempio s=-2 ottengo:
Z(-2)=1/1^(-2) + 1/2^(-2) + 1/3^(-2)....inf
La serie armonica converge per Re(s) >1
devi considerare il prolungamento analitico al semipiano con Re(s)<=1.
Gli zeri banali, non si vedono dall'espressione della serie armonica, ma si vedono considerando la relazione che lega zeta(s) e zeta(1-s)
Si dimostra (è laboriosa) che per z=-2m, la formula di Riemann della Z(-2m) è zero per qualsiasi m intero >0 . (La funzione integranda, per z intero ha un polo nell'origine di ordine n+2. L'integrale al contorno è il residuo della funzione integranda calcolato nel polo. il risultato è legato ai numeri di Bernouilli) e quindi Z(-2n)=0....n=1,2
la funzione 𝜁 di Riemann è il *prolungamento analitica della* serie ∑1/nᶻ. Quindi: si parte dalla serie, che effettivamente converge solo se la parte reale di z è strettamente maggiore di 1. Ma la funzione definita su questa regione del piano complesso è una funzione analitica, e come tale ammette un'estensione all'intero piano complesso, con l'eccezione del punto z = 1. È questa estensione che propriamente definisce la funzione 𝜁 di Riemann, anche se scrivere l'estensione è meno immediato rispetto a scrivere l'espressione per la serie.
È lo stesso motivo per cui 1+2+3+... Fa -1/12
Circa il prolungamento analitico che dà luogo alla zeta di Riemann credevo di averlo capito ma ciò che dici adesso mi pare che siano cose diverse. Riguardo alla serie infinita che citi io non direi che "fa -1/12" ma che diverge, e che invece quel risultato che citi è stato ottenuto manipolando la serie in modo non proprio corretto.
Riguardo poi al secondo quesito mi pare che non ci sia alcun bisogno di scomodare né limiti né infinitesimi o infiniti, perché il numeratore si elide con parte del denominatore e la funzione rimane 1/(x+1) che per x=1 vale 1/2. Osservazione:
Se la calcoli effettuando prima la semplificazione simbolica ottieni 1/2 altrimenti ottieni 0/0. Idem se 1+2+3+.. la calcoli dall'espressione 1/1^s+1/2^s+1/3^s+... effettuando tutte le semplificazioni simboliche e poi al risultato finale sostituisci s=-1 ottieni -1/12 altrimenti ottieni infinito.
Ora qual'è a questo punto l'interpretazione corretta?
In alcuni casi è quella "classica" ( fa infinito) , in alcune situazioni come ad esempio quando voglio calcolare l'interazione su due oggetti dovuta alle fluttuazioni quantistiche ( effetto casimir) del vuoto oppure per capire il comportamento dinamico di alcune tipologie di sospensioni di polimeri è più corretto la seconda(-1/12)
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