L’equazione X^2-7Y^2=14 ammette soluzioni intere ?
innanzitutto x² deve essere multiplo di 7, pertanto anche x lo deve essere (7 è primo). Quindi si ha (ad esempio x = 7n, con n intero) 49n²=7y²+14 => divido per 7 e ottengo 7n²=y²+2. Applicando il mod7 ad entrambi i membri si deve avere che y² + 2 sia multiplo di 7 (cioè congruo a 0mod7) il che non avviene mai.
Non ammette soluzioni intere
x²-7y²=14
vi son piu modi di dimostrarlo:
una cn ma non suff affinchè
Ax²-By²=C
abbia soluzioni è che
A B coprimi e
x²=A⁻¹C mod B
y²=-B⁻¹C mod A
notiamo tuttavia che x y devono avere la stessa parità per cui
x²-7y²=14 mod 7
consegue
x²=0 mod 7→x=0 mod 7
x=7k, k∈ℤ
ma allora
(7k)²-7y²=14
che diviene
y²+2=7k²
che mod 7 è impossibile:
avrei
{1,2,4}+2≡0
che è falsa
potrei lavorare mod 8 sulla equazione di partenza oppure sapendo che
x=2h+1
y=2k+1
coprimi ed entrambi dispari (il 2ndo m. è pari)
(2h+1)²-7(2k+1)²=14
porta dopo sempificazione a
h(h+1)-7k(k+1)=5
ma il primo membro è pari il secondo è dispari il che è assurdo. Questo metodo non richiede specifiche conoscenze di aritmetica modulare.
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