La derivata del denominatore è semplicemente 1. Quella del numeratore è -e⁻ˣ/[2√(e⁻ˣ-1)].
Raccogliendo e⁻ˣ sotto radice abbiamo:
-e⁻ˣ/[2e⁻ˣᐟ²√(1-eˣ)] = -e⁻ˣ/[2e⁻ˣᐟ²√(1-eˣ)] = -e⁻ˣᐟ²/[2√(1-eˣ)].
Il denominatore tende a 2 per x → -∞, quindi il tutto tende a -∞.
Aggiungo che, se si conosce la gerarchia degli infiniti, si può fare a meno della regola di de l’Hôpital: il numeratore va come e⁻ˣᐟ² che è un infinito di ordine superiore al denominatore (x) per x → -∞. Quindi il limite fa -∞