pensa di tracciare il cartesiano di
y=ln(1-x);
stai cercando qual è il valore al quale arriveresti se dovessi retrocedere "a sinistra" senza fermarti mai
noterai che il valore cresce senza mai arrestarsi, per cui "alla lunga" giungerai fino a +inf, ma MOLTO LENTAMENTE, perchè ad ogni "decremento costante" di x, corrisponde un sempre minore incremento di y, pur non giungendo l'incremento mai a zero.
per contro, se procedi nello stesso modo tracciando y=x, che è una bisettrice del cartesiano, noterai che "retrocedendo" ottieni valori di y negativi, per i quali però non si applica lo stesso princpio di prima:
a decrementi costanti di x corrispondono decrementi costanti di y; retrocedendo senza mai finire giungerai ad un infinito, per la precisione -inf, ma molto più rapidamente.
in entrambi i casi non ti capiterà di cambiar segno.
così, esaminando ciò che accade, avrai un numeratore sempre positivo e un denominatore sempre negativo,
il che, se il limite portasse ad un valore finito diverso da zero o da inf, ti restituirebbe segno negativo.---> +|Ν|/-|D|
ma.
ma osservando quanto rapidamente la curva di y=N(x) si allontana dalle ascisse e quanto rapidamente invece la curva di y=D(x) si comporta allo stesso modo, noterai che progressivamente |N(x)| pur crescendo indefinitamente in quella direzione,
-- e lo fa anche |D(x)| --
resta valida la relazione
|N(x)|<|D(x)|
[è più semplice apprezzarlo confrontando y=ln(1-x) con y=-x, così ti liberi dal pasticcio dei segni]
di conseguenza, dovendo calcolare il risultato di una frazione in cui il denominatore in valore assoluto diventa ad ogni step sempre più grande del valore assoluto del numeratore, otterrai progressivamente un risultato in valore assoluto sempre più piccolo, senza che questo "rimpicciolimento progressivo" abbia mai fine.
qual è il valore più piccolo che puoi raggiungere in valore assoluto? zero.
che è il valore a cui questa frazione si avvicina, restituendo sempre un valore "più piccolo" retrocedendo in direzione opposta al verso delle ascisse.
Ovviamente questa non è una dimostrazione matematica, ma credo che tu volessi immaginare il motivo, più che cavalcare una dimostrazione che non ti appare intuitiva.