limite senza usare la formula di Stirling
converge a L=4/e
infatti
hip)
ⁿ√[(2n)!/(n!nⁿ)]→L
passando ai logaritmi naturali posso scrivere dopo qualche manipolazione:
ln(L)=
=limₙ→∞{(1/n)∑ⱼ₌₁ⁿln(2k/n)-(1/n)∑ⱼ₌₁ⁿln(k/n)}→
→
∫ln(x)dx|0,2-∫ln(x)dx|0,1=∫ln(x)dx|1, 2
Si ha
∫ln(x)dx=xln(x)-∫dx=x[ln(x)-1]+c
quindi:
ln(L)=x[ln(x)-1]|1, 2=
=2ln(2)-1
da cui:
L=4/e
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