Calcolare, se esiste, l'inversa della funzione f(x) = tan(x/2) + cosec(x). x appartiene all'intervallo [pi/3, pi/2]. "pi" sta per pi greco. Possibilmente senza usare le derivate.
3 al denominatore deve essere fuori delle parentesi quadre. Comunque la cosa più importante è stabilire prima di tutto se la funzione è invertibile. Quindi bisogna dimostrare che è biettiva.
dimostrare che f(x) è iniettiva e suriettiva.
Somma di due funzioni:la prima strettamente crescente,la seconda strettamente decrescente.La f(x) è strettamente decrescente ,quindi invertibile.
Non è dimostrato da nessuna parte perché non è vero che la somma di due funzioni, una strettamente crescente e l'altra strettamente decrescente, sia una funzione crescente. Dipende dalle due particolari funzioni. La possibilità di usare le derivate, il testo del quesito non lo consente.
tgx/2 nel dominio varia da 0,577 a 1.
cosecx ,invece,varia nel dominio da 1,15 a 1.
La rapidità con cui cresce tgx/2 è maggiore della rapidità con cui decresce cosecx.Pertanto la funzione è strettamente crescente.
È un ragionamento intuitivo, ma non del tutto matematico. Devi dimostrare che f(x) è biunivoca senza utilizzare le derivate o teoremi che si dimostrano con le derivate, ma solo le funzioni goniometriche e la definizione di funzione invertibile.
Considero
y=tan(x/2)+cosec(x)
con x appartenente [pi/3; pi/2)
Che può essere anche scritta in questo modo:
y=(3t^2+1)/2t
con t appartenente [(sqrt(3))/3;+infinito)
Facciamo ora le seguenti considerazioni:
una funzione è invertibile se è biettiva.
Una funzione monòtona strettamente crescente o strettamente decrescente è biettiva.
Allora se è vero che
t1<t2 implica f(t1)<f(t2)
Vuol dire che la funzione è strettamente crescente
L'intervallo in cui vado a verificare la monòtonia della funzione è ovviamente [(sqrt(3)/3);+infinito)
Considero:
((3(t1)^2-1)/2t1)<(3(t2)^2-1)/2t2)
Con (t1;t2) appartenente [(sqrt(3))/3; +infinito)
Risolvendo e riducendo si ha:
((3t1t2-1)(t1-t2)/2t1t2)<0 (1)
Da cui ponendo
1) 3t1t2-1>0
2) t1-t2>0
3) 2t1t2>0
Si ha che la 1 è sempre verificata perchè per ipotesi t1, t2 appartengono [(sqrt(3))/3;+infinito)
La 2 non è mai verificata perchè per ipotesi t1<t2
La 3 è sempre verificata essendo nell'intervallo di appartenenza t1,t2 sempre positivi.
Ne segue che la disequazione (1) è sempre vera nell'intervallo [(sqrt(3))/3;+infinito)
La funzione è strettamente crescente e quindi biettiva e quindi invertibile.