logaritmo in base 10 di 7
Per assurdo esistano interi positivi a, b tali che log₁₀(7) = a/b. Allora 10ᵃᐟᵇ = 7, cioè 10ᵃ = 7ᵇ. Ma questo è impossibile per il teorema fondamentale dell'aritmetica dato che 7 e 10 sono coprimi.
potremmo anche pensare a questo:
Forse è rudimentale, ma pensavo questo: presi m e n appartenenti ad N, allora il risultato, se fosse razionale, di Log(7) potrebbe essere scritto nella forma m/n. Di conseguenza:
Log(7)=m/n ==> Log(7^n)=m
Cioè: 10^m=7^n
Essendo sia m che n appartenenti ai naturali, 10^m sarà sempre un numero che finisce per 0, mentre l'ultima cifra di 7^n sarà ciclicamente una tra {1,7,9,3}, comportando un assurdo.
Un ragionamento simile si può fare ipotizzando che il risultato sia un numero intero, distinguendo tra i casi in cui il solo m appartenga a N o Z: ciò per esclusione porta a dire che Log(7) sia irrazionale.
ma anche:
Sia log10(7)=x. Supponiamo per assurdo razionale allora x=p/q. Allora 7^(p/q)=10 da cui 7^p=10^q ma non esistono p,q interi positivi che soddisfano ciò in quanto 7 e 10 sono coprimi
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