Mostrare che per ogni n€N, n^7 - n è divisible per 42 e che n^4 + 4 non è primo per ogni n>1
Riducendo mod 7 e usando il piccolo teorema di Fermat:
n⁷ - n ≡ n - n (mod 7) = 0 ⇒ n⁷ - n è divisibile per 7.
• Usando la fattorizzazione della somma e differenza di cubi:
n⁷ - n = n·(n⁶-1) = n·(n³-1)·(n³+1) = n·(n-1)·(n+1)·(something), quindi è divisibile per 3 ed è pari.
Nel complesso. n⁷-n è divisibile per 2, 3 e 7 e quindi per 42.
n⁴ + 4 = (n²+2)² - 4n² = (n² + 2 - 2n)·(n² + 2 + 2n).
Entrambi i fattori sono positivi per ogni n. n² + 2 - 2n = 1 per n = 1, e questo è l'unico caso in cui n⁴ + 4 non è fattorizzabile
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