nei naturali risolvere 1+(2^x)+(3^y)=z^3
1+2ˣ+3ʸ=z³
ha la unica soluzione
x=2, y=1, z=2
tranne il caso
x=0 y=0 z=1 che non è soluzione il primo membro è pari e quindi il secondo e z son pari
z=2t
1+2ˣ+3ʸ=2³t³
2³t³-2ˣ=1+3ʸ
per x≥3 t≥1 allora lavorando mod 8
si dovrebbe avere
1+3ʸ=0 mod 8
3ʸ=-1 mod 8
che è impossibile, per cui la soluzione trovata è unica
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Per y=2r pari
1+3ʸ=1+9ʳ=1+(1+8)ʳ=1+∑ᵢ₌₀ʳ(ʳᵢ)8ʳ=1+1 mod 8 = 2
per y=2r+1 dispari
1+3ʸ=1+3·9ʳ=1+3·∑ᵢ₌₀ʳ(ʳᵢ)8ʳ=1+3 mod 8 = 4
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