1) Infinito meno infinito.

2) Infinito per zero.

3) Infinito diviso infinito.

4) Zero diviso zero.

5) Infinito elevato a zero.

6) Zero elevato a zero.

7) Uno elevato a infinito.

Ci sono diversi metodi per trovare la soluzione di un limite che in prima battuta conduce a una di queste forme. In alcuni casi la soluzione si trova dopo qualche passaggio algebrico, modificando l'espressione in una forma equivalente.

Esempio 1. Questo limite ha una forma indeterminata del tipo 0/0.

lim n → Ꚙ (1/n^2) / (1/n) = 0/0

In questo caso si può trovare il risultato semplificando l'espressione algebrica.

lim n → Ꚙ (1/n^2) / (1/n) =

lim n → Ꚙ (1/n^2) * (n/1) =

lim n → Ꚙ 1/n = 0

Il risultato è 0.

Se la funzione è derivabile e la forma indeterminata è 0/0 o infinito/infinito, si può usare il teorema di De l'Hopital.

Esempio 2. Questo limite ha una forma indeterminata del tipo infinito/infinito.

lim n → Ꚙ (n - 1) / n = Ꚙ/Ꚙ

Uso il teorema di De l'Hopital e calcolo il limite della derivata prima.

lim n → Ꚙ D [ (n - 1)/ n ] =

lim n → Ꚙ D [ 1 / 1 ] = 1

Il risultato è 1.

Nelle forme indeterminate infinito su infinito, quando il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore, il limite è uguale a infinito. Il segno si determina con le regole dell’algebra.

Esempio 3. Questo limite ha una forma indeterminata del tipo infinito/infinito.

lim x → Ꚙ (x^2+1) / [x + sqrt(x^2-1)]

In questo caso il grado del numeratore è superiore a quello del denominatore e il limite è uguale a infinito.

Esempio 4. Questo limite ha una forma indeterminata del tipo infinito/infinito.

lim x → Ꚙ (2x-4) / [x + sqrt(x^2-2x+4)]

In questo caso il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore e il limite è uguale al rapporto dei coefficienti delle potenze maggiori di numeratore e denominatore. Il coefficiente della x del numeratore è 2 e quello delle x del denominatore è 1+ sqrt(1), quindi il limite vale 2/2 = 1.

Esempio 5. La seguente funzione assume la forma indeterminata 0/0 quando x = 2.

lim x → 2 x^2-3x+2 / x^2-5x+6 = 0/0

È una delle forme indeterminate in cui si può usare il teorema di De l'Hopital. Si calcola separatamente la derivata del numeratore e del denominatore.

f'(x) = 2x-3

g'(x) = 2x-5

lim x → 2 (2x-3) / (2x-5) = (4-3) / (4-5) = 1/-1 = -1

Non tutte le volte che si trova zero o infinito in un limite si tratta di una forma indeterminata.

In questi casi la soluzione è determinata.

k - Ꚙ = -Ꚙ Un numero meno infinito.

Ꚙ + Ꚙ = Ꚙ Infinito più infinito.

k * Ꚙ = Ꚙ Un numero per infinito.

Ꚙ * Ꚙ = Ꚙ Infinito per infinito.

k / Ꚙ = 0 Un numero diviso infinito.

0 / Ꚙ = 0 Zero diviso infinito.

Ꚙ / k = Ꚙ Infinito diviso un numero.

k / 0 = Ꚙ Un numero diviso zero.